Метою школи є ознайомлення студентів та аспірантів із декількома класичними темами теорії чисел, від основ до деяких останніх результатів і застосувань у комп'ютерних науках. Школа складатиметься з трьох курсів лекцій, які супроводжуватимуться численними дискусіями та розв'язуванням задач.

Франсуа Шарль (Вища нормальна школа в Парижі) читатиме курс з геометрії чисел. Це буде вступ до алгебраїчної теорії чисел. Алгебраїчне число природно розглядати як вектор, координатами якого є всі його спряжені числа (корені того самого полінома з раціональними коефіцієнтами). Таким чином кільце цілих у числовому полі утворює ґратку в R^n, і вивчення таких ґраток надає фундаментальну інформацію про алгебраїчні числа. Цей підхід був започаткований Германом Мінковським наприкінці XIX століття і розвивався багатьма математиками (зокрема Луїсом Морделлом, Гарольдом Девенпортом і Карлом Людвігом Зігелем). На початку 1980-х Хендрік Ленстра зі співавторами розпочали застосування геометрії чисел до цілочисельного програмування та інших проблем дискретної оптимізації. Курс познайомить слухачів з інструментами геометрії чисел і огляне їх алгоритмічні застосування.

Хав'єр Фресан (Університет Сорбонна) зробить вступ до аналітичної теорії чисел. Теорема про прості числа стверджує, що кількість простих чисел <x має асимптотику x/log(x). Це було незалежно доведено Адамаром і де ла Валле Пуссеном у 1896 році за допомогою дослідження поведінки певних аналітичних функцій. Курс Фресана розпочнеться з нового доведення теореми про прості числа, знайденого в 1950-х роках Д. Дж. Ньюменом. Це доведення майже не використовує інструментів комплексного аналізу поза теоремою Коші. Наступними темами буде пояснення того, як гіпотеза Рімана дозволяє покращити результати щодо розподілу простих чисел, і доведення теореми Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії. Якщо залишиться час, можна буде обговорити новіші результати про інтервали між простими числами в дусі Чжана та Мейнарда.

Йоланта Мажец-Балестерос (Університет Адама Міцкевича в Познані) представить еліптичні модулярні форми, важливий інструмент сучасної арифметики. Це голоморфні функції на комплексній площині, які, цитуючи Баррі Мазура, мають стільки внутрішніх симетрій, що саме їхнє існування здається неймовірним. Такі функції виявляються корисними в комбінаториці (наприклад, для вивчення властивостей статистичних сум), теорії чисел (у доведенні Великої теореми Ферма) та інших областях математики й теоретичної фізики (наприклад, Monstrous moonshine, пакування сфер у вищих вимірах, квантова теорія поля). Модулярні або, загальніше, автоморфні форми є ключовими об’єктами в програмі Ленглендса, метагіпотезі, яка керує розвитком арифметичної алгебраїчної геометрії. У курсі Мажец-Баллестерос розглядатиметься базова теорія модулярних форм і обговорюватимуться їхні L-функції. Остання тема є спільною для всіх трьох курсів нашої школи. Деякий час буде присвячено зв'язкам модульних форм з теорією кодування.

Необхідні попередні знання

• вступний курс комплексного аналізу

• основи алгебри (лінійна алгебра, теорія груп, скінченні поля)